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　　五、夾角γ為75°的計(jì)算

　　5.1用基礎(chǔ)理論分析圖7形式順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力

　?、僖浑A慣性力的計(jì)算

　　一階慣性力用 表示，下標(biāo) 代表一階。按照?qǐng)D7從左到右的閱讀順序，其一階慣性力合力的構(gòu)成如（7）式所表達(dá)

　　坐標(biāo)系如圖順轉(zhuǎn)15°后，由于y軸在標(biāo)準(zhǔn)直角坐標(biāo)的對(duì)面，相當(dāng)于坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°，也就

　　是作正角15°變換，其因子為，

       則

　?、诙A慣性力的計(jì)算

　　這里先用傳統(tǒng)的三角函數(shù)來(lái)計(jì)算。

　　垂直方向：

      先積化和差，得到

     展開(kāi)化簡(jiǎn)合并后得到

　　      

    水平方向：

　　這里應(yīng)注意投影到y(tǒng)軸應(yīng)為負(fù)值，這也和前面的正方向原則相一致。否則影響到轉(zhuǎn)換矩陣，影響到諸如式（34）等的形式。

　　也可以采用復(fù)數(shù)分析法，下面簡(jiǎn)單地寫出。二階慣性力用 表示，下標(biāo) 代表二階。按照?qǐng)D7從左到右的閱讀順序，其二階慣性力合力的構(gòu)成如（11）式所表達(dá)

　　

        關(guān)于W型75°順轉(zhuǎn)二階慣性力也可以類似一階慣性力作其逆矩陣（見(jiàn)下）求出其二次多項(xiàng)式，判定其橢圓，此處不展開(kāi)了；也可以作正角15°矩陣變換，求出其關(guān)于轉(zhuǎn)角的參數(shù)方程，得出的結(jié)果太復(fù)雜，這里寫出其線性方程，讀者有興趣可以驗(yàn)算一下四個(gè)涉及到三個(gè)無(wú)理數(shù)的方程運(yùn)算。

　　5.2用基礎(chǔ)理論分析圖8形式反時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力

　?、僖浑A慣性力的計(jì)算

　　同樣，一階慣性力合力的構(gòu)成按圖8所示的構(gòu)成，依次寫出如下

　　由上式可以發(fā)現(xiàn)，將式（34）中的“θ”用“－θ”，“Y”用“－Y”代替后就得出上面的式子。這也就是轉(zhuǎn)角換向就用負(fù)角代替，按基礎(chǔ)理論中正方向的問(wèn)題所要求的，依圖7中所建立的坐標(biāo)系，由于y軸較前一種方向相反，所以y軸也要變號(hào)。

　　經(jīng)求上矩陣的逆矩陣得：

　　該逆矩陣是這樣求得的，令，則原矩陣為，先求其行列式的值，用含有字母a的代數(shù)式表示，上矩陣的伴隨陣是，依據(jù)，矩陣的四項(xiàng)將a值代入，計(jì)算化簡(jiǎn)后得出含有根號(hào)的分式。

　　利用cos²θ+sin²θ＝1，求出關(guān)于X、Y的二次多項(xiàng)式，利用其判別式定理，求得AC＝0.238≠0，B2－4AC＝-0.893＜0。所以其一階慣性力圖是一個(gè)橢圓。

　　坐標(biāo)系作負(fù)角15°變換，則

　　故其一階慣性力圖是一個(gè)橢圓。

　?、诙A慣性力的計(jì)算

　　二階慣性力合力的構(gòu)成按圖8所示的構(gòu)成，依次寫出如下

　　關(guān)于它是一個(gè)橢圓，類同以上。讀者有興趣也可仿上步驟算出這個(gè)矩陣。上式與式（42）相類似，讀者應(yīng)明白其構(gòu)成。

　　5.3用基礎(chǔ)理論分析圖9形式順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力

　?、僖浑A慣性力的計(jì)算

　　根據(jù)式（50）、（46）、（35），依上一篇文章的內(nèi)容，可以得出W型75°壓縮機(jī)上述三種情形一階慣性力的橢圓的短長(zhǎng)軸之比為。

　?、诙A慣性力的計(jì)算

　　這里也先用傳統(tǒng)的三角函數(shù)來(lái)計(jì)算。

　　垂直方向：

　　先和差化積，得到

　　水平方向：

　　如用復(fù)數(shù)分析法，則如上結(jié)果相同。

　　根據(jù)式（53），依上一篇文章的內(nèi)容，可以得出W型75°壓縮機(jī)上述三種情形二階慣性力的橢圓的短長(zhǎng)軸之比為。

　　5.4總結(jié)

　　本處以安徽華晶機(jī)械有限公司生產(chǎn)的WW-0.9/10B-Q型全無(wú)油二級(jí)空壓機(jī)為模版，假定氣缸夾角為75°，計(jì)算其一、二階往復(fù)慣性力。此處先假定三列往復(fù)質(zhì)量相等，即m_s為1.8kg，曲柄半徑為0.0375m，曲柄半徑連桿比λ為37.5/195，角速度ω為2π×(800/60)rad/s，現(xiàn)將上述結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入上文中所列的相關(guān)公式中，運(yùn)用計(jì)算機(jī)內(nèi)EXCEL程序列表、繪圖計(jì)算分析，計(jì)算的結(jié)果繪制在上圖的圖7、圖8、圖9中，可以得到以下結(jié)論：

　　1）一階慣性力由60°分布的圓變成橢圓，且橢圓的短長(zhǎng)軸之比由1變成0.608；平均值由711N變成721N，有所增大；方向由跟隨變成近似跟隨。圖7、8中已畫出一、二階慣性力剛開(kāi)始時(shí)的矢量線，用橢圓斷開(kāi)表示，圖9中反映一階慣性力在某個(gè)時(shí)候有重合的可能。

　　2）二階力說(shuō)明，其橢圓短長(zhǎng)軸之比由0.333變成0.571。力的平均值由96.9N變成70.4N，有所減小。方向初看是亂的，但很有規(guī)律，因?yàn)槿呛瘮?shù)是周期函數(shù)。這個(gè)規(guī)律待人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)、研究、發(fā)現(xiàn)、找尋合適的機(jī)構(gòu)來(lái)平衡。

　　3）當(dāng)m_s2≠m_s1時(shí)，60°分布一階慣性力在m_s2列方向形成橢圓的對(duì)稱軸，而75°不是，說(shuō)明角度優(yōu)先于質(zhì)量，說(shuō)明W型時(shí)，60°分布是最優(yōu)的。從式（9）的復(fù)數(shù)表達(dá)式、式（10）的幾何表達(dá)式中可以看出，60°分布時(shí)一階慣性力長(zhǎng)短軸與角度無(wú)關(guān)，僅與質(zhì)量有關(guān)，這與上也是吻合的。

　　4）它們的共同點(diǎn)是，曲柄轉(zhuǎn)1周，一階慣性力也轉(zhuǎn)1周，且同向；二階慣性力轉(zhuǎn)2周，也同向。

　　5）若m_s2≠m_s1，會(huì)引起圖7、圖8、圖9中兩個(gè)橢圓有所歧化，或偏轉(zhuǎn)，兼帶擴(kuò)壓，使其相位、幅值有微量變化。

　　5.5 圖9與圖7中隱含的一致性方程

　　我們將圖9中坐標(biāo)系順旋轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)動(dòng)75°后建立了新坐標(biāo)系，就變成了圖7中坐標(biāo)系，這也是正角變換，我們可以得出這兩個(gè)代數(shù)式方程（50）、（34）之間的相互聯(lián)系，用下面的矩陣方程來(lái)表達(dá)，以驗(yàn)算一階慣性力理論推導(dǎo)過(guò)程的一致性。

　　〈注：本文未完待續(xù)，更多精彩見(jiàn)下期！〉

　　參考文獻(xiàn)

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